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远博娱乐平台-高等代数课程的基本内容与主要要

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高等代数课程的基本内容与主要要领_理学_高等教育_教育专区

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高等代数课程的基本内容与主要要领_理学_高等教育_教育专区。高等代数,论文

2010 年第 2 期 ( 总 第 1 20期)牡丹江教育学院学报JOU RN A L OF M U D AN JIA N G CO LL EG E OF EDU CA T IO NNo1 2, 2010Serial N o 120 1高等代数课程的基本内容与主要要领戴立辉 林大华( 闽江学院, 福建[摘 要]吴霖芳福州陈翔)对高等代数的基本内容与主要要领举行归纳和总结, 使其所涉及的知识点之间的相互 关系清晰 高等代数; 基本内容; 主要要领 [ 文献标识码] A [ 文章编号] 1009 2323( 2010) 02 0146 03 6. 多项式根的判别法, 多项式重根的判别法。 7. 整系数多项式有理根的求法, 艾森斯坦判断法。 二、 行列式 行列式是线性方程组 理论的 一个重 要组成 部门, 是一 种主要的数学工具。 ( 一) 基本内容 n 级排列及其性子, n 级行列式的看法, 行列式的性子, 行列式的盘算, 克 拉默规则。 ( 二) 主要要领 1. 求一个排列的逆序数的要领。 2. 行列式的盘算要领: 界说 法, 性子法, 化 为三角 形行 列式的要领, 降级法( 按一 行或一 列开展 法、 拉普拉 斯开展 法) , 化为范得蒙行列式 的要领, 递 推法, 加边法, 数学 归纳 法, 拆项法。 3. 一些特殊行列式 的计 算要领 ) ) ) 三角形 行列 式, ab 型行列式, 范得蒙 行列式, 爪型行列式, 三对角行列式。 4. 克莱姆规则。 三、 线性方程 组 / 线性方程组0 这部门在理论上解决了线性方程组有解 的判断、 解的个数 及求法、 解的结构等。 ( 一) 基本内容 1. 向量的线性关系 ) ) ) n 维向量, 向量的线性运算, 线 性组合, 线性表出 , 线性 相关, 线性无 关, 极 大线性 无关 组, 向量组等价, 向量 组的秩。 2. 矩阵的秩 ) ) ) 矩阵的秩 = 矩阵 行( 列) 向量 组的 秩, 即矩阵的行( 列) 秩= 矩阵 不为零 的子式 的最大 级数, 初等 变换不改变矩阵的秩, 用初等变换盘算矩阵的秩。 3. 线 性方 程组 的解 的情 形 ) ) ) 线性 方 程组 有解 的判 定, 线性方程组解 的个数, 齐次线性方程组解的情形。 4. 线性方程组解的结构 ) ) ) 齐次线性方程组的基础解 系, 齐次线性 方程 组解 的表 示, 非齐 次线 性方 程组 解 的表 示。明晰, 同时体现高等代数课程要修业生掌握的知 识系统。 [ 要害词] [ 中图分类号] O 15高等代数是高等学校数学专业的一门必修的专业基础 课程, 它是由多项式 理论和线 性代数 两部门 组成。多项 式 部门以一元多项式的因式 剖析理论 为中央, 线 性代数 部门 主要包罗行列式、 性方程组 、 阵、 次型、 线 矩 二 线性 空间、 线 性变换、- 矩阵与若尔当尺度 形、 K 欧几里得空间等。 通过高等代数课程的教 学, 要修业生 掌握一 元多项 式 及线性代数的基本知识和基础理论, 熟悉和掌 握抽象的、 严 格的代数要领, 明确 详细与抽象 、 特殊 与通常、 有限与 无限 等辨证关系, 提高抽象头脑、 逻辑推理及运算能力。 凭证我们多年的教学经 验, 本文拟对 高等代 数的基 本 内容与主要要领举行归纳 和总结, 使其 所涉及 的知识 点之 间的相互关系清晰明晰, 同时也 体现出 了高等 代数课 程要 修业生掌握的知识系统。 一、 多项式 一元多项式理论主要讨论了三个问题: 整 除性理论, 因 式剖析理论和根的理论。 其中整除 性是基 础, 因式剖析 是 焦点。 ( 一) 基本内容 1. 整除性理论 ) ) ) 整除, 最大公因式, 互素。 2. 因式剖析理论 ) ) ) 不行约多项式, 典型剖析式, 重因 式。 3. 根的理论 ) ) ) 多项式函数, 根的个数, 根与系数的关 系。 ( 二) 主要要领 1. 多项式除多项式的带余除法。 2. 用辗转相除法求两个 多项式 的最大 公因式, 最大 公 因式的判别法。 3. 两多项式互素的判别法。 4. 不行约多项式的判别法, 多项式尺度剖析式求法 , 重 因式的判别法。 5. 多项 式函数值的求法, x - c 除多项式 f ( x ) 的 综合 除法, 多项式按 x - x 0 的方幂开展的要领。[ 收稿日期] 2009 - 25 -10 [ 作者简介] 戴立辉( 1963- ) , 男, 江西乐安人 , 闽江学院教授, 研究偏向为矩阵 论; 林大 华( 1959- ) , 男, 福建福州人 , 闽 江学院副教授, 研究偏向为 代 数学; 吴 霖 芳( 1979- ) , 女, 福 建永 安人, 闽江 学院 讲 师, 硕士, 研究 偏向 为 微分 方程; 陈翔 ( 1980- ) , 男, 福建连江人, 闽江学院讲师, 硕士, 研究偏向为代数环论。 [ 基金项目]/ 十一五0 国家课题/ 我国高校应用型人才作育模 式研究0 数学类子课题项目( FIB- A2- 03) 。# 146 # ( 二) 主要要领 1. 用消元法解线性方程 组, 利 用方程 组的增 广矩阵 的 初等变换解方程组的要领。 2. 向量组线性相关性的 判断法, 向量 组极大 线性无 关 组的求法, 向量组秩的求法。 3. 矩阵秩的若干求法: ? 子 式法: 找 出矩 阵 A 中不 为 零的最高级子式。 ? 初等变换法: 用初等变 换将矩阵 A 化 为蹊径形矩阵等要领。 4. 线性方程组解的公式求法, 基础解系的求法, 线性方 程组有解( 即相容) 的判别法。 四、 矩阵 矩阵是线性代数的一个 主要研 究工具, 它是 数学及 其 他学科的一个主要工具。 ( 一) 基本内容 1. 矩阵运算 ) ) ) 加法与减法、 数乘、 乘法、 转置、 可逆矩 阵。 2. 矩阵的运算纪律 ) ) ) 知足加法的交流律, 团结律 , 乘 法的团结律, 数乘对加法的分配律, 乘法对加法的左右分配 律。 3. 几种特殊 矩阵 ) ) ) 数 量 矩阵, 对 角 矩 阵, 三角 形 矩 阵, 对称矩阵, 阻挡称矩阵。 4. 矩阵可逆的条件 ) ) ) n 级矩阵 A 可逆 Z | A | X 0 Z 秩( A ) = nZ A 可以通过初等变换化为单元矩阵 Z A 可以 写成初等矩阵的乘积。 5. 陪同矩阵的常用性子。 6. 矩阵秩的通常性子。 7. 矩阵的分块运算。 8. 初等矩阵, 矩阵的等价及尺度形。 9. 广义初等变换, 广义初等矩阵。 ( 二) 主要要领 1. 矩阵的加法、 减法、 数乘、 法、 乘 转置、 逆以 及混淆 运 算。 2. 矩阵可逆性的证实及逆矩阵的求法( 陪同矩阵法 、 初 等变换法、 矩阵分块法) 。 3. 陪同矩阵性子的证实及应用。 4. 用初等 变换解 一些 矩阵方 程: 如, 若AX = B( | A | X 0) , 则通过 ( A s B) ( E s A - 1 B) , 可得 X = A - 1 B. 5. 矩阵的秩及相关问题的盘算和证实。 6. 使用分块矩阵举行矩阵的加、 减和乘法运算的方 法。 五、 二次型 二次型的理论起源于剖析几何中二次曲线和二次曲面 的分类, 是线性代数的一个主要研究工具。 ( 一) 基本内容 1. 二次型与矩阵 ) ) ) 二次型 的定 义, 二 次型 的矩阵 和 秩, 非退化线性替换, 矩阵的条约。 2. 二次型的尺度形与规范形 ) ) ) 配要领, 条约变换 法, 正惯性指数、 负惯性指数、 符号差, 惯性定律。 3. 正定二次 型 ) ) ) 正定 二 次型, 正 定 矩 阵, 顺序 主 子 式, 负定二次型, 半 正定 二次 型, 半负 定 二次 型, 不 定二 次 型。 ( 二) 主要要领 1. 用非退化线性替换化二次型为尺度形( 配要领、 条约 变换法) 。 2. 化二次型为复数域上和实数域上规范形的要领。 3. 实二次型正定性的判别法。初等行变换4. 实对称矩阵正定性的判别法。 六、 线性空间 线性空间是线性代数 的中央 内容, 是几何 空间的 抽象 和推广, 线性空间的概 念详细 展示了 代数理 论的抽 象性和 应用的普遍性。 ( 一) 基本内容 1. 线性空间的看法与性子。 2. 基、 维数和坐标 ) ) ) 基、 数和 坐标 的基本 看法, 过 维 渡矩阵, 基变换与 坐标变换。 3. 线性子空间及其 形成 ) ) ) 子空 间的 看法, 子空 间的 判别, 天生子空间 , 子空间的交与和, 维数公式, 子空间的直 和。 4. 线性空间的同构。 ( 二) 主要要领 1. 线性空间、 线性子空 间的判断法。 2. 线性空间中向量组线性相关或线性无关的判断法。 3. 有限维线性空间的 基与维 数简直 定, 向 量在一 组基 下坐标的求法。 4. 由一组基到另一组基的过渡矩阵的求法。 5. 统一直量在差异基下的坐标的求法。 6. 确定线性子空间( 如 ? 齐次线性方程组的解空间, ? 向量组的天生子空间) 的基、 维数的要领。 7. 确定天生子空间的和与交的基、 维数的要领。 8. 判断两子空间的和是否为直和的要领。 9. 线性空间同构的判断法。 七、 线性变换 线性变换是线性代数 的中央 内容之 一, 它 对于研 究线 性空间的整体结 构 以及 向量 之间 的内 在联 系起 着重 要作 用。线性变换的看法是解 析几何 中的坐 标变换、 数学 剖析 中的某些变换或替换等的抽象和推广, 它的理论和要领( 特 别是与之相顺应的矩阵理论和要领) 在剖析几何、 微分方程 等许多其他应用学科, 都有极为普遍的应用。 本章的中央问题是研 究线性 变换的 矩阵表 示, 在 要领 上则充实使用了线性变换与矩阵对应和相互转换。 ( 一) 基本内容 1. 线性变换及其运 算 ) ) ) 线性变 换及 其性子, 可 逆线 性变换与逆变换, 线性变换 的和与 差、 积、 乘 数目乘 法、 幂、 多项式, 线性变换 的值域与核, 秩与零度。 2. 线性变换与矩阵 ) ) ) 线 性变换 在基 下的矩 阵, 相似 矩阵及其性子。 3. 特征值与特征向量 ) ) ) 线性变换( 或矩阵) 的特征值 与特征向量, 特征多项式, 特征子空间, H amilton - Cay lay 定理。 4. 对角化问题 ) ) ) 线性变 换可对 角化 的条件, 不 变子 空间。 ( 二) 主要要领 1. 线性变换的加法、 法、 减 数目乘法、 乘法等运算。 2. 线性变换在一组基下的矩阵的求法。 3. 线性变换在差异基下的矩阵的求法。 4. 线性变换或 矩阵 的特 征值 和相 应 的特 征向 量 的求 法。 5. 线性变换或矩阵可对角化的判别法。 6. 线性变换的值域与核的求法。 7. 稳固子空间的判断法。 八、 K- 矩阵与若尔当尺度形 ( 一) 基本内容 K- 矩阵, 可逆的 K 矩阵, K- 矩 阵( 下转第 167 页) -# 147 # 生物等孳息依法享有的占有、 使用、 收益或者处分的权力。 由此看法可以一定, 将林权的客体限制为 林木和林地, 有利于构建清晰的林权法 律制度框 架, 有利于 明确林 权的 权力义务界线, 有利于规范林权生意营业行为, 有利于划清作为 私法性子的林权执法制度和作为公法性子的生态情形扞卫 执法制度的功效, 从中构建起林权执法制度逻 辑框架: 林权 包罗林木所有权 与林 地使 用权 和林 木使 用权 与林 地使 用 权, 林权中涉及的情形生 态价值 和社会 公益价 值由环 境保 护执法制度和行政治理执法制度去规范。 二、 林权与森林资源所有权 首先, 森林资源从物理形态方面看, 包罗林地、 林木 、 野 生动植物和微生物等; 从价值形态方面看, 主要包罗修养水 土、 防风固沙、 清算空气等 扞卫生 态情形 价值。因 此, 森 林 资源所有权主要是从/ 自 然资源 属性0 角 度划定权 利归属, 在森林资源所有权项下可以构建多种他物权形态。林权主 要是由森林资源中的几个 要素团结 而形成 的权力, 主 要是 由林地、 林木和依托林地、 林木生涯的植物或者微生物等孳 息团结而构建起来的权力。林权主要是从/ 工业权力0 角度 划定权力的归属。 其次, 凭证5 物权法6第四十八条之划定/ 森林、 山岭、 草 原、 荒地、 滩涂等自然资源, 属于国家所有, 但执法划定属于 整体所有的除外0 , 和5 森林 法6 第三 条之划定/ 森林资 源属 于国家所有, 由执法划定 属于集 体所有 的除外0 , 森林 资源 所有权的主体只能是国家和整体。凭证5森林法6 第二十七 条划定:/ 农村居 民在 房前 屋后、 留地、 留山 种 植的 林 自 自 木, 归小我私人所有。城镇居 民和职 工在自 有衡宇 的庭院内 种 植的林木, 归小我私人所 有。整体或 者小我私人 承包国 家所有和 集 体所有的宜林荒山荒地造 林的, 承包后 莳植的 林木归 承包 的整体或者小我私人所有; 承包条约尚有划定的, 凭据承包条约 ( 上接第 147 页) 的 秩; K- 矩 阵的 初等 变换 及标 准形, K矩阵的等价; 行列式因子, 稳固因子, 初等因子; 若尔当尺度 形, 最小多项式, 矩阵的有理尺度形。 ( 二) 主要要领 1. 化 K 矩阵为尺度形的要领。 2. K- 矩阵的稳固因子与初等因子的求法。 3. 矩阵相似的判别法。 4. 矩阵与对角矩阵相似的判别法。 5. 复系数矩阵的若尔当尺度形的求法。 6. 矩阵的最小多项式的求法。 九、 欧几里得空间 欧几里得空间( 简称欧氏空间) 是实数域上带有一个内 积的线性空间, 是通常几何空间的推广。 ( 一) 基本内容 1. 内积、 欧氏空间的看法及其简朴性子。 2. 向量的长度, 两个非零向量的夹角, 向量的正交。 3. 尺度正交基, 怀抱矩阵, 正交矩阵及其性子。 4. 正交补与内射影。 5. 正交变换, 对称 变换, 实 对称 矩 阵的 性子 及 其对 角 化。的划定执行。 建设在林地使用权基础上的林权所有权主体 0 包罗自然人在内的任何民事主体。 再次, 从价值 取向方面看, 森林资源所有权规范内容的 价值取向主要是生态情形 效益方 面的公 共利益; 林 权规范 内容的价值取向主要是物尽其用、 勉励生意营业的私权力益。 三、 林权与林 地所有权、 林地使用权 自然状态的林木以土地为载体而存在, 因此, 林权与林 地细密联系在 一起 。但林 木与 土地 团结 在一 起的 自 然状 态, 实在纷歧定导致 执法机械地将它们视为一个物, 甚至让它 们同属于一个主体, 进 而形成 其上仅 直立着 一个土 地所有 [ 权的执法 架构。8] 林木与林 地所有权结 合的林权 是一种自 物权、 完全物 权, 该种 形态 的林 权包 括国 有林 权和 集 体林 权; 林木与林地使 用权团结的林权是一种他物权、 限制物权 和用益物权, 该种 形态的林权就是私有林权。在我国, 林地 只能由国家和整体所有, 因此, 私有林权只能是建设在林地 使用权基础上的林权。 [ 参 考 文 献][ 1] 周训芳, 谢国 保, 范 志超. 林业 法学 [ M ] . 北 京: 中 国 林业 出书 社, 2004. [ 2] 李然, 严立 冬. 我国 林 权改 革 制度 窥见 [ J] . 当 代 经济, 2005, ( 2) . [ 3] [ 6] 梁慧星, 陈华彬. 物权法[ M ] . 北京: 执法出书社, 2005. [ 4] 高桂 林, 吴国 刚. 我 国 林权 制 度 构 建 之研 究 [ J ] . 法学 杂 志, 2005, ( 5) . [ 5] 高利红. / 绿色0 物权 的法 定化 ) ) ) 林业 权之 物权 法 系统 结构 [ J] . 法学, 2004, ( 3) . [ 7] 谢在全. 民法物权 论( 上 册) [ M ] . 北京: 中 国政法 大学出 版社, 1999. [ 8] 崔建远. 水 权 与民 法 理论 及 物权 法典 的 制订 [ J] . 法 学 研究, 2002, ( 3) .[ 责任编辑: 朱君安]6. 实二次型的尺度化。 7. 欧氏空间的同构。 ( 二) 主要要领 1. 向量的内积、长度、夹角的求法。 2. 欧氏空间的尺度正交基的 Schimidt 正交化求法。 3. 正交矩阵的判别要领。 4. 判别线性变换为正交变换、 对称变换、 阻挡称变换的 要领。 5. 实对称矩阵通过正交矩阵化为对角矩阵的要领。 6. 用正交线性替换化实二次型为尺度形的要领。 [ 参 考 文 献][ 1] 北京大学数学系 几何与代数 教研室 前代数 小组. 高 等代数 ( 第 三版) [ M ] . 北京: 高等教育出书社, 2003. [ 2] 张均本. 高等代 数习题 课参考 书[ M ] . 北 京: 高等 教育出 版社, 1991. [ 3] 胡康秀, 王兵贤. 工科5线性 代数6 总温习 框架[ J] . 牡丹江 教育 学院学报, 2007 , ( 3) : 126- 127. [ 4] 怀化学院. 高等代数精 品课程[ E B/ O L] . 怀化学院5高等 代数6 课程网站: jpkc. h ht c. edu . cn.The Basic Contents and Main Methods of Higher Algebra CourseDAI Li- hui LIN Da- hua WU LIN- fang CHEN Xiang ( Department of Mathematics, Minjiang University, Fuzhou, Fujian ) Abstract: T his ar ticle gener alizes and sum marizes t he basic cont ent s and main methods of higher al g ebra course, according t o the authors. year s o f teaching ex perience, w hich makes each branch easy and understandable. At t he same t im e, it reflects w hat t eachers should require st udents t o master in hig her algebra. Key words: H ig her algebr a; Basic cont ent ; M ain met ho d [ 责任编辑: 丛爱玲] # 167 #

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